Comment interpréter une analyse probit ?

L'analyse probit est une technique statistique utilisée pour modéliser des variables binaires en fonction d'un ensemble de variables explicatives. Contrairement à la régression linéaire classique, où la variable dépendante est continue, l'analyse probit est spécifiquement conçue pour traiter des données où la variable dépendante est binaire, c'est-à-dire qu'elle prend deux valeurs possibles, telles que 0 et 1.

L'intérêt principal de cette approche est qu'elle permet d'estimer la probabilité qu'un événement se produise, en fonction d'une série de facteurs explicatifs. Le modèle probit utilise la fonction de distribution cumulative de la loi normale pour prédire cette probabilité. Cela signifie que la relation entre la probabilité d'un événement et les variables explicatives n'est pas linéaire mais suit une courbe en forme de S, ce qui reflète une variation progressive de la probabilité.

1. L'équation du modèle probit

L'équation d'un modèle probit est similaire à celle d'une régression linéaire, sauf qu'elle intègre la fonction probit pour modéliser une variable binaire. L'équation se présente sous la forme suivante :

$P(Y=1\mid X)=\Phi \left(X\beta \right)$P(Y=1∣X)=Φ(Xβ)

où :

• $P(Y=1\mid X)$P(Y=1∣X) représente la probabilité que la variable dépendante $Y$Y prenne la valeur 1, étant donné les valeurs des variables explicatives $X$X.
• $\Phi$Φ est la fonction de distribution cumulative normale standard.
• $\beta$β est un vecteur de coefficients à estimer.

Le modèle probit estime les coefficients $\beta$β de telle sorte que la probabilité prédite corresponde au mieux aux observations réelles. Cette estimation se fait généralement par une technique appelée maximum de vraisemblance.

2. Application de l'analyse probit

L'analyse probit est souvent utilisée dans des contextes où l'on souhaite prédire des événements dichotomiques, comme :

• Le succès ou l'échec d'une campagne publicitaire.
• La probabilité qu'un individu adopte un certain comportement, comme l'achat d'un produit ou l'abandon d'un service.
• La probabilité qu'un patient souffre ou non d'une certaine maladie, en fonction de facteurs de risque.

3. Interprétation des coefficients

Les coefficients $\beta$β du modèle probit ne sont pas directement interprétables comme ceux d'une régression linéaire. Cependant, ils fournissent des informations sur la direction de l'effet des variables explicatives sur la probabilité de l'événement. Par exemple :

• Un coefficient $\beta$β positif signifie que la probabilité que l'événement se produise augmente lorsque la valeur de la variable explicative associée augmente.
• Un coefficient $\beta$β négatif indique que la probabilité diminue lorsque la variable explicative augmente.

Il est important de noter que les coefficients probit ne donnent pas directement l'ampleur de l'effet des variables explicatives sur la probabilité. Pour comprendre l'effet marginal des variables explicatives, il est souvent nécessaire de calculer des effets marginaux, qui mesurent l'impact d'une variation marginale d'une variable explicative sur la probabilité prédite.

4. Différence entre analyse logit et probit

L'analyse probit est souvent comparée à l'analyse logit, une autre technique de modélisation pour des variables dépendantes binaires. La principale différence entre ces deux méthodes réside dans la fonction utilisée pour modéliser la relation entre la variable dépendante et les variables explicatives. Alors que l'analyse probit utilise la fonction de distribution cumulative normale, l'analyse logit utilise la fonction logistique. Dans la pratique, les résultats des deux méthodes sont souvent très similaires, mais le choix entre les deux peut dépendre des préférences ou des hypothèses spécifiques à l'étude.

Probit	Logit
Fonction normale cumulative	Fonction logistique
Moins sensible aux valeurs extrêmes	Plus sensible aux valeurs extrêmes
Courbe en S plus douce	Courbe en S plus abrupte

5. Exemples concrets d'utilisation

Prenons un exemple dans le domaine de la santé publique. Imaginons que nous voulions prédire la probabilité qu'une personne soit fumeuse (variable dépendante binaire : fumeur = 1, non-fumeur = 0) en fonction de plusieurs variables explicatives comme l'âge, le sexe et le revenu. En utilisant un modèle probit, nous pourrions estimer comment ces différentes variables influencent la probabilité qu'une personne soit fumeuse.

Une autre application courante est dans le domaine financier, pour estimer la probabilité de défaut de paiement d'un prêt. Ici, les variables explicatives pourraient inclure des facteurs tels que le revenu de l'emprunteur, son historique de crédit, et la durée du prêt.

6. Avantages et inconvénients de l'analyse probit

L'un des avantages de l'analyse probit est sa capacité à modéliser des données binaires avec des relations non linéaires entre les variables explicatives et la probabilité d'un événement. Cependant, elle présente aussi des inconvénients, notamment une interprétation plus complexe des coefficients par rapport à une régression linéaire simple.

De plus, l'estimation des modèles probit peut être plus coûteuse en termes de calcul, surtout avec des échantillons de grande taille ou lorsque de nombreuses variables explicatives sont présentes. Dans ces cas, des méthodes alternatives, comme l'analyse logit ou les modèles d'apprentissage automatique, peuvent être envisagées.

En résumé, l'analyse probit est un outil puissant pour prédire des événements binaires et modéliser des relations probabilistes complexes. Sa compréhension nécessite une bonne maîtrise des concepts statistiques sous-jacents, mais elle offre une approche rigoureuse et robuste pour l'analyse de nombreuses situations pratiques.