Évaluation des options de vente européennes : Utilisation d'un arbre binomial
Les arbres binomiaux permettent de modéliser les variations possibles du prix d'un actif sous-jacent sur une période donnée, en divisant le temps en intervalles discrets. À chaque étape, le prix de l'actif peut soit augmenter, soit diminuer selon une probabilité calculée. Ce processus se poursuit jusqu'à la date d'échéance de l'option, où la valeur de l'option de vente est déterminée en fonction de la différence entre le prix d'exercice et le prix de l'actif sous-jacent.
1. Introduction : Pourquoi un arbre binomial ?
L'arbre binomial est souvent préféré par les praticiens pour sa flexibilité et sa capacité à traiter différents types d'options, y compris les options européennes. Contrairement aux méthodes plus complexes comme les équations différentielles partielles, l'arbre binomial est intuitif et permet d'intégrer facilement des caractéristiques spécifiques de l'option, telles que les dividendes ou les barrières.
2. Les bases de l'arbre binomial
Pour construire un arbre binomial, on commence par diviser la durée de vie de l'option en N intervalles égaux. À chaque intervalle, le prix de l'actif sous-jacent peut monter avec une certaine probabilité (notée p) ou descendre (probabilité 1-p). Ces mouvements sont calculés en fonction de la volatilité de l'actif et du taux sans risque.
U=eσΔt,D=e−σΔtIci, U représente le facteur d'augmentation, D le facteur de diminution, σ la volatilité de l'actif sous-jacent, et Δt la durée de chaque intervalle. À chaque nœud de l'arbre, le prix de l'actif sous-jacent est recalculé en fonction de ces facteurs, créant ainsi un éventail de prix possibles à la date d'échéance.
3. Calcul de la valeur de l'option
Une fois l'arbre construit, la valeur de l'option de vente est déterminée en remontant l'arbre depuis les nœuds terminaux (à la date d'échéance) jusqu'à la racine (aujourd'hui). À chaque nœud terminal, la valeur de l'option est simplement la différence entre le prix d'exercice et le prix de l'actif sous-jacent, si cette différence est positive ; sinon, la valeur est nulle.
Valeur de l’option aˋ un nœud=e−rΔt[p×Valeur du nœud supeˊrieur+(1−p)×Valeur du nœud infeˊrieur]Le processus se poursuit jusqu'à ce que l'on atteigne la racine de l'arbre, qui donne la valeur actuelle de l'option de vente européenne.
4. Exemples pratiques
Prenons un exemple avec un actif sous-jacent initialement évalué à 100 €, une option de vente avec un prix d'exercice de 100 €, une volatilité de 20 %, un taux sans risque de 5 %, et une échéance de 1 an divisée en 3 intervalles. En utilisant l'approche binomiale, nous calculons les différents prix possibles à l'échéance et déterminons la valeur de l'option à chaque nœud terminal, avant de remonter l'arbre pour trouver la valeur actuelle de l'option.
Tableau récapitulatif :
| Niveau de l'arbre | Prix de l'actif sous-jacent | Valeur de l'option de vente |
|---|---|---|
| Niveau 3 (échéance) | 121,67 € | 0,00 € |
| Niveau 2 | 110,25 € | 0,00 € |
| Niveau 1 | 100,00 € | 5,48 € |
| Niveau 0 (aujourd'hui) | 100,00 € | 8,24 € |
5. Limites et avantages
Bien que l'approche binomiale soit puissante, elle présente certaines limitations, notamment lorsqu'il s'agit de modéliser des options avec des caractéristiques plus complexes comme les options américaines. Cependant, pour les options européennes standard, elle offre une méthode robuste et relativement simple pour évaluer le prix de l'option.
6. Conclusion
En fin de compte, l'arbre binomial représente un outil essentiel pour tout praticien de la finance cherchant à évaluer des options de vente européennes. Sa capacité à modéliser de manière intuitive les mouvements de prix et à s'adapter aux différentes conditions du marché en fait une méthode de choix pour les analystes et les traders.
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