La Cardinalité des Ensembles : Exemples et Explications

Exemple 1 : Ensemble Finis

Prenons un ensemble simple comme $A=\{1,2,3,4,5\}$A={1,2,3,4,5}. La cardinalité de cet ensemble, notée $\mid A\mid$∣A∣, est le nombre total d'éléments distincts qu'il contient. Pour cet exemple, $\mid A\mid =5$∣A∣=5. Voici une explication étape par étape :

1. Identifiez les éléments : L'ensemble $A$A contient les éléments 1, 2, 3, 4 et 5.
2. Comptez les éléments : Il y a cinq éléments distincts.
3. Conclusion : $\mid A\mid =5$∣A∣=5.

Exemple 2 : Ensemble Vierge

Un ensemble vide est un ensemble qui ne contient aucun élément. Par exemple, $B=\left\{\right\}$B={}. La cardinalité de cet ensemble est :

1. Identifiez les éléments : L'ensemble $B$B ne contient aucun élément.
2. Comptez les éléments : Il n'y a pas d'éléments.
3. Conclusion : $\mid B\mid =0$∣B∣=0.

Exemple 3 : Ensemble Infini

Considérons l'ensemble des nombres naturels $N=\{0,1,2,3,4,\dots \}$N={0,1,2,3,4,…}. Cet ensemble est infini, et pour les ensembles infinis, la cardinalité est souvent représentée par des symboles spéciaux. La cardinalité des nombres naturels est :

1. Identifiez les éléments : L'ensemble $N$N est infini.
2. Comptez les éléments : Il y a une infinité d'éléments.
3. Conclusion : La cardinalité de $N$N est notée ${\aleph }_0$ℵ0​ (aleph-zéro), représentant une infinité dénombrable.

Exemple 4 : Ensemble des Sous-ensembles

Pour un ensemble donné $C=\{a,b\}$C={a,b}, considérons tous ses sous-ensembles. Les sous-ensembles de $C$C sont : $\left\{\right\},\left\{a\right\},\left\{b\right\},\{a,b\}${},{a},{b},{a,b}. Le nombre total de sous-ensembles est donné par $2^n$2n, où $n$n est le nombre d'éléments dans l'ensemble. Dans ce cas :

1. Identifiez les éléments : L'ensemble $C$C a 2 éléments.
2. Comptez les sous-ensembles : Il y a $2^2=4$22=4 sous-ensembles.
3. Conclusion : La cardinalité des sous-ensembles est 4.

Exemple 5 : Ensemble des Parties

Pour un ensemble $D=\{1,2\}$D={1,2}, l'ensemble des parties est l'ensemble de tous les sous-ensembles possibles, y compris l'ensemble lui-même et l'ensemble vide. La cardinalité de l'ensemble des parties est :

1. Identifiez les éléments : L'ensemble $D$D a 2 éléments.
2. Calculez la cardinalité des parties : Le nombre d'éléments dans l'ensemble des parties est $2^2=4$22=4.
3. Conclusion : La cardinalité de l'ensemble des parties de $D$D est 4.

Exemple 6 : Ensemble avec Répétitions

Considérons un ensemble $E=\{a,a,b,b,c\}$E={a,a,b,b,c} avec des éléments répétés. En théorie des ensembles, les répétitions n'affectent pas la cardinalité. Donc :

1. Identifiez les éléments distincts : Les éléments distincts sont $a$a, $b$b, et $c$c.
2. Comptez les éléments distincts : Il y a 3 éléments distincts.
3. Conclusion : La cardinalité de $E$E est 3.

Exemple 7 : Cardinalité de l'Ensemble des Entiers Relatifs

Prenons l'ensemble des entiers relatifs $Z=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}. Cet ensemble est aussi infini :

1. Identifiez les éléments : L'ensemble $Z$Z est infini dans les deux directions.
2. Comptez les éléments : Il y a une infinité d'éléments.
3. Conclusion : La cardinalité de $Z$Z est ${\aleph }_0$ℵ0​, similaire à celle de $N$N.

Exemple 8 : Ensemble des Réels dans un Intervalle

Considérons l'ensemble des nombres réels dans l'intervalle $[0,1]$[0,1]. Cet ensemble est également infini :

1. Identifiez les éléments : L'ensemble $[0,1]$[0,1] contient tous les nombres réels entre 0 et 1.
2. Comptez les éléments : Il y a une infinité de nombres réels dans cet intervalle.
3. Conclusion : La cardinalité de cet ensemble est un infini plus grand que ${\aleph }_0$ℵ0​, et il est noté $c$c (la cardinalité du continu).

Conclusion

La cardinalité est un concept clé pour comprendre la taille des ensembles en mathématiques. Qu'il s'agisse d'ensembles finis ou infinis, le principe est de déterminer le nombre d'éléments distincts. Les exemples ci-dessus illustrent les différentes situations que vous pouvez rencontrer en théorie des ensembles.