Exemple de fonction injective mais non surjective

Une fonction est dite injective lorsqu'elle associe chaque élément de son domaine à un unique élément de son codomaine, sans répéter. Cependant, elle n'est pas nécessairement surjective, c'est-à-dire que tous les éléments du codomaine ne sont pas forcément atteints par l'application. Prenons l'exemple classique pour illustrer cela : considérons la fonction $f:R\to R$f:R→R définie par $f\left(x\right)=e^x$f(x)=ex.

Bien que $f\left(x\right)=e^x$f(x)=ex soit injective, car des valeurs distinctes de $x$x donnent des valeurs distinctes pour $e^x$ex, elle n'est pas surjective lorsque le codomaine est $R$R. En effet, pour toute valeur $y$y dans $R$R, il n'existe pas de $x$x tel que $e^x=y$ex=y lorsque $y\le 0$y≤0. La fonction $f\left(x\right)=e^x$f(x)=ex est donc injective mais non surjective lorsqu'on considère l'ensemble des réels non négatifs comme codomaine.

Ce phénomène peut être illustré à l'aide de graphiques et d'une analyse plus approfondie. Considérons la fonction $f\left(x\right)=e^x$f(x)=ex dont le graphe montre que la fonction tend vers zéro mais ne l'atteint jamais, et elle est toujours positive, ce qui exclut les valeurs négatives dans le codomaine. Cette démonstration offre une compréhension claire des concepts d'injectivité et de surjectivité et comment ils s'appliquent différemment selon la définition du codomaine.

Graphiquement, le domaine est $R$R et le codomaine est également $R$R, mais la fonction $f$f ne couvre pas tout $R$R. Il est crucial de noter que pour qu'une fonction soit surjective, chaque élément du codomaine doit avoir une pré-image dans le domaine. Ce n'est pas le cas ici puisque les valeurs négatives ne sont jamais atteintes par $f$f.

L'exemple de $f\left(x\right)=e^x$f(x)=ex illustre la distinction entre injectivité et surjectivité de manière très claire. C'est une démonstration simple mais efficace pour comprendre comment une fonction peut être injective sans être surjective, en fonction de la relation entre le domaine et le codomaine.