Formule des Options de Vente Européennes

Les options de vente européennes sont des instruments financiers qui permettent à un investisseur de vendre un actif sous-jacent à un prix d'exercice spécifié à une date déterminée dans le futur. Contrairement aux options américaines, qui peuvent être exercées à tout moment avant l'échéance, les options de vente européennes ne peuvent être exercées qu'à la date d'échéance. La formule de valorisation pour ces options est un élément crucial pour les investisseurs cherchant à évaluer correctement leur valeur.

1. Formule de Black-Scholes pour les Options de Vente Européennes

La formule de Black-Scholes est un modèle mathématique utilisé pour calculer la valeur théorique des options. Pour une option de vente européenne, la formule est exprimée comme suit :

$P=X{e}^{-rT}\Phi (-d_2)-S\Phi (-d_1)$P=Xe−rTΦ(−d2​)−SΦ(−d1​)

où :

• $P$P est le prix de l'option de vente.
• $X$X est le prix d'exercice de l'option.
• $S$S est le prix actuel de l'actif sous-jacent.
• $r$r est le taux d'intérêt sans risque.
• $T$T est le temps jusqu'à l'échéance, exprimé en années.
• $\Phi$Φ est la fonction de répartition de la loi normale.
• $d_1$d1​ et $d_2$d2​ sont calculés comme suit :

$d_1=\frac{\ln \left(S/X\right)+(r+{\sigma }^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}$d1​=σT​ln(S/X)+(r+σ2/2)T​

$d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$d2​=d1​−σT​

où $\sigma$σ est la volatilité du prix de l'actif sous-jacent.

2. Explication des Termes et de leur Importance

• Prix d'Exercice (X) : Le prix auquel l'option peut être exercée. Plus le prix d'exercice est élevé par rapport au prix de l'actif sous-jacent, plus la valeur de l'option de vente est élevée.

• Prix de l'Actif Sous-Jacent (S) : Le prix actuel du marché de l'actif. Une baisse du prix de l'actif sous-jacent augmente la valeur de l'option de vente.

• Taux d'Intérêt Sans Risque (r) : Le taux d'intérêt hypothétique que l'on pourrait obtenir sans prendre de risques. Il influence la valeur de l'option car les paiements futurs sont actualisés à ce taux.

• Temps Jusqu'à l'Échéance (T) : Le temps restant avant que l'option n'expire. Plus le temps est long, plus l'option a de la valeur en raison de l'incertitude accrue.

• Volatilité (σ) : Une mesure de la fluctuation des prix de l'actif sous-jacent. Une volatilité plus élevée accroît la valeur de l'option de vente, car elle augmente la probabilité que l'option sera exercée à un prix favorable.

3. Exemple de Calcul

Prenons un exemple pour illustrer l'utilisation de la formule. Supposons que nous avons une option de vente européenne avec les paramètres suivants :

• Prix d'exercice (X) : 50 €
• Prix actuel de l'actif sous-jacent (S) : 45 €
• Taux d'intérêt sans risque (r) : 5% par an
• Temps jusqu'à l'échéance (T) : 1 an
• Volatilité (σ) : 20%

Calculons d'abord $d_1$d1​ et $d_2$d2​ :

$d_1=\frac{\ln \left(45/50\right)+(0.05+0.2^2/2)\times 1}{0.2\sqrt{1}}\approx -0.322$d1​=0.21​ln(45/50)+(0.05+0.22/2)×1​≈−0.322

$d_2=-0.322-0.2\approx -0.522$d2​=−0.322−0.2≈−0.522

En utilisant ces valeurs dans la formule, nous obtenons :

$P=50e^{-0.05}\Phi (-(-0.522\left)\right)-45\Phi (-(-0.322\left)\right)$P=50e−0.05Φ(−(−0.522))−45Φ(−(−0.322))

Supposons que $\Phi (-(-0.522\left)\right)\approx 0.699$Φ(−(−0.522))≈0.699 et $\Phi (-(-0.322\left)\right)\approx 0.627$Φ(−(−0.322))≈0.627. Ainsi,

$P=50\times 0.951\times 0.699-45\times 0.627\approx 33.16-28.16=5.00$P=50×0.951×0.699−45×0.627≈33.16−28.16=5.00

Le prix théorique de l'option de vente est donc de 5.00 €.

4. Applications Pratiques et Limitations

La formule de Black-Scholes pour les options de vente européennes est largement utilisée dans les marchés financiers pour évaluer le prix des options. Cependant, elle repose sur plusieurs hypothèses, telles que la normalité des rendements des actifs, l'absence d'arbitrage, et la constance des taux d'intérêt et de volatilité. En pratique, ces hypothèses peuvent ne pas toujours être vérifiées, ce qui peut conduire à des écarts entre le prix théorique et le prix réel du marché.

Les investisseurs doivent également considérer les facteurs exogènes tels que les changements réglementaires, les événements macroéconomiques et les variations de la liquidité qui peuvent influencer la valorisation des options.

Conclusion

La compréhension et l'application de la formule de Black-Scholes pour les options de vente européennes fournissent une base solide pour évaluer ces instruments financiers complexes. En maîtrisant cette formule, les investisseurs peuvent mieux gérer leurs risques et opportunités sur les marchés financiers.