Injection de fonction injective: Définition et applications

Introduction
L'injection est un concept fondamental en mathématiques, notamment dans le domaine de la théorie des ensembles et de l'algèbre. Une fonction est dite injective (ou monomorphe) si elle associe des éléments distincts de l'ensemble de départ à des éléments distincts de l'ensemble d'arrivée. En d'autres termes, si deux éléments différents de l'ensemble de départ sont envoyés sur deux éléments différents de l'ensemble d'arrivée, la fonction est injective.

Définition formelle
Une fonction $f:A\to B$f:A→B est injective si pour tous $x_1$x1​ et $x_2$x2​ dans $A$A, si $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$f(x1​)=f(x2​) alors $x_1=x_2$x1​=x2​. Autrement dit, chaque élément de l'ensemble de départ est envoyé sur un élément unique de l'ensemble d'arrivée, sans répétition.

Exemples

• Exemple 1 : La fonction $f\left(x\right)=2x$f(x)=2x définie sur l'ensemble des entiers est injective. Pour deux entiers $x_1$x1​ et $x_2$x2​, si $2x_1=2x_2$2x1​=2x2​, alors $x_1=x_2$x1​=x2​.
• Exemple 2 : La fonction $f\left(x\right)=x^2$f(x)=x2 définie sur l'ensemble des réels n'est pas injective, car $f\left(2\right)=f(-2)=4$f(2)=f(−2)=4, bien que $2\ne -2$2=−2.

Applications pratiques
Les fonctions injectives sont cruciales dans divers domaines :

• En cryptographie : Les fonctions injectives sont utilisées pour garantir que les données sont mappées de manière unique, ce qui est essentiel pour la sécurité des informations.
• En informatique : Les bases de données utilisent des clés primaires qui sont des exemples de fonctions injectives pour identifier de manière unique les enregistrements.
• En biologie : Les fonctions injectives peuvent modéliser des relations uniques entre différentes espèces ou gènes.

Propriétés importantes

• Composition de fonctions : Si $f:A\to B$f:A→B et $g:B\to C$g:B→C sont injectives, alors la composition $g\circ f:A\to C$g∘f:A→C est également injective.
• Restriction : Si une fonction est injective sur un ensemble $A$A, elle reste injective si on restreint son domaine à un sous-ensemble de $A$A.
• Inverse : Une fonction injective sur un ensemble $A$A peut avoir une fonction inverse qui est également injective sur l'ensemble d'arrivée.

Tableau des exemples de fonctions injectives et non injectives

Fonction	Ensemble de départ	Ensemble d'arrivée	Injective
$f\left(x\right)=2x$f(x)=2x	Entiers	Entiers	Oui
$f\left(x\right)=x^2$f(x)=x2	Réels	Réels	Non
$f\left(x\right)=x+1$f(x)=x+1	Entiers	Entiers	Oui
$f\left(x\right)=\sin \left(x\right)$f(x)=sin(x)	Réels	Intervalle [-1, 1]	Non

Conclusion
La notion de fonction injective est essentielle pour comprendre la structure des fonctions en mathématiques et leurs applications pratiques. Elle permet de garantir l'unicité dans les mappings et joue un rôle clé dans diverses disciplines. En comprenant les propriétés et les applications des fonctions injectives, on peut mieux appréhender leur importance dans les théories mathématiques et les solutions pratiques.